Diberdayakan oleh Blogger.
Total Tayangan Halaman
Entri Populer
- MAKALAH SEJARAH PERKEMBANGAN PERS DI INDONESIA
- Cara Remastering dan Install Pinguy Builder Ubuntu 14.04
- Program Penjumlahan Deret C++
- Program Menghitung Keliling lingkaran bahasa C / C++
- Program Menghitung Volume Kubus Bahasa C / C++
- Piramida Angka C++ Versi 3
- Menghitung volume kerucut, tabung, balok dengan Fungsi C++
- Tablet komputer kini pakai teknologi 3D
- Program Menghitung Luas Permukaan Kubus bahasa C /C++
- Menghitung Bilangan berpangkat dan berakar C++
Label
- C++ (5)
- database (1)
- databases (1)
- developer (1)
- import (1)
- install (1)
- komputer (1)
- Linux (1)
- oracel (1)
- pinguy builder (1)
- remaster (1)
- remastering (1)
- remastersys (1)
- Sistem Informasi (6)
- sql (1)
- Ubuntu (1)
- UNSRI (6)
Arsip Blogku
-
▼
2011
(17)
-
▼
Desember
(13)
- Program Penjumlahan Deret C++
- Piramida Angka C++ Versi 3
- Piramida Angka C++ Versi 2
- Kalkulator Bahasa C dengan IF ELSE
- kalkulator dengan bahasa C
- Aritmatika
- Menghitung volume kerucut, tabung, balok dengan Fu...
- Pengurutan Bilangan pada C++
- Piramida Angka C++
- Konversi Suhu dalam program C++
- Penjumlahan Matrik Pada C++
- membuat bintang pada C++
- kalkulator php web
-
▼
Desember
(13)
Minggu, 25 Desember 2011
Aritmatika
Aspek-aspek analitis dalam persoalan aritmatika dijelaskan pada bagian berikut ini
Mampu Membentuk Model Aritmatika/Matematika serta melakukan deduksi/induksi Model
Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang
sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhana-kannya
sehingga menjadi model yang lebih sederhana dan siap dikomputasikan dalam
bentuk algoritma. Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam
pemecahan masalah.
Contoh:
Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih
dari 50 ribu rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30
ribu rupiah. Berapakah kemungkinan uang Amir yang paling tepat?
Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi di atas
• Pers-I: x > y
• Pers-II: x+y > 50000
• Pers-III: |x-y| > 30000
Dari Pers-I dan Pers-III: menghasilkan Pers-IV: x-y > 30000
Dari Pers-II dan Pers-IV: jika dijumlahkan menghasilkan 2x>80000.
Maka, x > 40000
- Memahami Sifat-sifat Bilangan
Untuk sejumlah masalah, sifat-sifat dari bilangan harus dipahami secara logis
Contoh:
Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah
dari berikut ini bil ganjil?
(A) n – p + 1
(B) np
(C) n2 + p2 – 1
(D) 3p + 5n
(E) (p – n)(n – p)
A bukan, karena (n+p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan
yang lain genap. Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1
menjadi genap.
B bukan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan
apapun akan menjadi genap.
C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap
genap, dan ganjil tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang
ganjil menjadi genap.
D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap
bilangan ganjil, dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap.
E benar, karena perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan
ganjil.
- Mengkaitkan dengan Konteks Masalah
Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadang-kadang hanya
tersirat saja. Yang dimaksud dengan konteks di sini adalah pemahaman umum
akan sesuatu yang sewajarnya diketahui pula.
Contoh:
jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai
waktu yang ditunjukkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang
menunjukkan jam 6? Apakah pukul 6:00:06?
Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentang-dentang tsb pada pukul
6:00:00, pukul 6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul
6:00:05!! Konteks disini adalah dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6,
dan penomoran detik/menit dimulai dari 0, 1, ... dst.
- Memahami Formula Rekursif
Banyak masalah pemodelan dengan tingkat kesulitan yang tinggi atau
pemrogramannya sendiri memerlukan pemecahan dengan algoritma rekursif.
Pemahaman fungsi rekursif membantu dalam pemahaman memahami bagaimana
bekerjanya algoritma rekursif.
Contoh:
Jika didefinisikan f(n) = n f(n–1) untuk setiap n > 0 dan f(0) = 1, maka
berapakah f(10)/(f (7) x f(6))?
Pahami perilaku fungsi rekursif tsb, sbb,
f(n) = n.f(n–1) = n.(n–1).f(n–2) = n.(n–1).(n–2).f(n–3) = ... = n(n–1)(n–2)(n–
3)....2.1 = n!
Sehingga, f(10) = 10! dan f(7) = 7! serta f(6) = 6!.
10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8
Dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1
- Eksplorasi dalam Masalah Kombinatorik
Dalam problem solving seringkali masalah yang diberikan bersifat kombinatorik
(mendapatkan setiap kemungkinan kombinasi/permutasi jawaban). Untuk
memecahkannya terkadang seluruh kemungkinan tersebut harus diperiksa untuk
mendapatkan pemecahan yang umum.
Contoh:
Jika diketahui dalam perkalian matriks A (mxn) dengan B (nxp) diperlukan
biaya mnp. Sementara untuk perkalian tiga matriks A.B.C dengan A(mxn),
B(nxp) dan C(pxq) ternyata terdapat dua kemungkinan biaya yang
bergantung pada urutannya:
• urutan (A.B).C (yaitu A dikali B dahulu kemudian dikali C), dan
• urutan A.(B.C) (yaitu B dikali C dahulu kemudian dikali A).
Urutan (A.B).C memerlukan harga mnp + mpq sementara urutan A.(B.C)
memerlukan harga npq + mnq. Kedua harga bisa berbeda sesuai dengan
harga-harga m, n, p, q tsb. Pertanyaannya, untuk perkalian empat matriks
A.B.C.D dengan A(10x4), B(4x15), C(15x2), dan D(2x20) manakah urutan
dengan biaya minimum?
Kemungkinan-kemungkinan urutan adalah (diperoleh dengan permutasi
ketiga tanda perkalian “.”):
• urutan (((A.B).C).D), biaya 10x4x15+10x15x2+10x2x20 = 1300
• urutan ((A.B).(C.D)), biaya10x4x15+15x2x20+10x15x20 = 4200
• urutan ((A.(B.C)).D), biaya 4x15x2+10x5x2+10x2x20 = 600
• urutan (A.((B.C).D)), biaya 4x15x2+4x2x20+10x4x20 = 1080
• urutan ((A.B).(C.D)), biaya 15x2x20+10x4x15+10x15x20 = 4200
• urutan (A.(B.(C.D))), biaya 15x2x20 + 4x15x20+10x4x20 = 4200
- Berpikir secara “Cerdas”
Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak mungkin, pasti
ada sesuatu di balik itu!! Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifat-sifat
operasi aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana.
Contoh 1:
Berapa digit terakhir dari 22003? Apakah anda ingin menghitungnya sendiri
(secara manual)? Tentu tidak, pasti ada penyederhanaannya. Dengan
mengubah n=1, 2, 3, …, dst, perhitungan 2n menghasilkan deret 1, 2, 4, 8,
16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari
setiap bilangan, kita mendapatkan perulangan dari 6 – 2 – 4 – 8 pada n mod
4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=2003, diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit
terakhir 8.
Contoh 2:
Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan adalah? Ini
juga tidak mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5
yang jika dikalikan menjadi 10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5
menghasilkan 10 berarti hanya menambah 0 di digit terkanan. Ada 2002
pasang faktor-faktor tsb sehingga 22002 x 52005 = 53 x 102002= 125 102002.
Penjumlahan tiga digit awal 1+2+5=8
Contoh 3:
Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!).
Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a –
1).(a – 2)…(b + 1). Maka:
(80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!)
= (80x79x78) / (40x39)
= (80/40) x (78/39) x 79
= 2 x 2 x 79 = 316
yang dapat dihitung tanpa kalkulator.
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
0 komentar: